【18 マジェスタ オートウェア】クラウンマジェスタ 180系 シートカバー ポイント 後部座席背もたれ一体型対応 カラー:ブラック


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数学切り抜き帳
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重複組み合わせの数
桜花学園大学教授
岩井 齊良
 異なる n 個のものから重複を許して r 個のものを取り出す場合の数 nHr は,公式

             nHrn+r-1Cr

によって求められる。この公式を説明しよう.

● 自動販売機による説明
 次のようなジュースの販売機があるとする.

 それぞれの図柄のボタンを押すと,ボタンの下からそのジュースが出てくる.
 この販売機で合計5本のジュースを取り出す場合をすべて挙げると次のようになる.

(5 【特価キャンペーン中】 【フォクトランド】テックライン車高調 VW Golf6/ハッチバック/ワゴン 【1K】 GTI 《8-》 ダウン量(mm)[20-40 / 20-40],0,0)
(4,1,0)
(4,0,1)
(3,2,0)
(3,1,1) (3,0,2)
(2,3,0)
(2,2,1) (2,1,2) (2,0 ,3)
(1,4,0)
(1,3,1) (1,2,2) (1,1,3) (1,0,4)
(0,5,0)
(0,4,1) (0,3,2) (0,2,3) (0,1,4) (0,0,5)

 これを次のイラストで示す.

 ○ はジュースを表す.| は3つの取り出し口の間の仕切りである.
 ここには,

    2個の | と5 個の ○ の並べ替え

のすべてが挙げられている.
 これらの場合の数は,

      2+5C5=21

である.

 自動販売機で売られるジュースの種類が n で,取り出すジュースの数が r のとき,ジュースの取り出し方は,

    n-1 個の │ と r 個の ○ の並べ替え

で表される.ジュースの総数が r で,仕切りの数が n-1 である.
 そして,これらの場合の数は,

       n+r-1Cr

である.

 以上のことから,

n 個のもの r 個を取り出す重複組み合わせ ←→ n-1 個の │ と r 個の ○ の並べ替え

という1対1対応が成り立つ.
 したがって,
 異なる n 個のものから重複を許して r 個のものを取り出す場合の数 nHr は,


             nHrn+r-1Cr

となる.

 ここでは,公式 nHrn+r-1Cr を覚えるのではなく 【送料無料】 235/45R18 18インチ OZ フォーミュラHLT 8J 8.00-18 YOKOHAMA ヨコハマ ブルーアース A(AE50Z) SALE サマータイヤ ホイール4本セット フジコーポレーション,重複組み合わせと○|の並びとの1対1対応も覚えよう.

● 自然数解
 8を3つの自然数の和として表す方法,つまり

     X+Y+Z=8

となる自然数の解 (X,Y,Z) の個数について考えてみよう.

 この答は次の21個である.

6+1+1
5+2+1
5+1+2
4+3+1
4+2+2 4+1+3
3+4+1
3+3+2 3+2+3 3+1+4
2+5+1
2+4+2 2+3+3 2+2+4 2+1+5
1+6+1
1+5+2 1+4+3 1+3+4 1+2+5 1+1+6

 この場合の数を求める方法として次のモデルを考えよう.

 8個の○を並べる

     ○○○○○○○○

 8個の○の間には7個のすき間がある.
 そのうち2個所のすき間を選ぶことによって,8個の○は3つのグループに分かれる.

これらのパターンが上の和と1対1に対応している.つまり,

8を3つの自然数の和として表す ←→ 8個の○のすき間(7個)から2つを選ぶ

という1対1対応が成り立つ.
 これらの場合の数は,

    7C2=21

である.

 以上のことを一般化すると,

N を r 個の自然数の和として表す ←→ N 個の○の並びのすき間(N-1個)から r-1 個を選ぶ

という1対1対応が成り立つ.
 したがって,これらの場合の数は,

        N-1Cr-1

である.

● 自然数解 RB3-4 オデッセイ エキゾーストキット / 排気セット【ノブレッセ】オデッセイ RB3/4 ノブレッセマフラー 左右2本出し タイプ7テール オールステン/2WD/アブソルート用 【送料無料】 195/65R15 15インチ ENKEI エンケイ PF07 6J 6.00-15 DUNLOP ダンロップ EC202L サマータイヤ ホイール4本セット フジコーポレーション,非負整数解,重複組み合わせ
 前項では,

   [1] X1+X2+X3+…+Xr=N, X1,X2,X3,…,Xr は自然数

という方程式の解 (X1,X2,X3,…,Xr ) について考えた.
 これに対し,

   [2] x1+x2+x3+…+xr=n, x1

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,x2,x3,…,xr は0以上の整数

という方程式の解 (x1,x2,x3,…,xr ) について考えよう.

 [1] の解 (X1,X2,X3,…,Xr ) に対し,

     (X1-1)+(X2-1)+(X3-1)+…+(Xr-1)=N-r

つまり,n=N-r とした [2] の解
(x1 【受注生産】【グレイス Grace】ヴェルファイア (8人乗) 等にお勧め ネクストライン ダイヤキルト シートカバー 1台分 スタンダードバージョン 専用PVCレザー 型式等:AGH30W / AGH35W 品番:CS-T042-E,x2,x3,…,xr )=(X1-1,X2-1,X3-1,…,Xr-1) が対応する.
 また,[2] の解 (x1,x2,x3,…,xr) に対し,

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     (x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+…+(xr+1)=n+r

つまり,N=n+r とした [1] の解
(X1,X2,X3,…,Xr)=(x1+1,x2+1,x3+1,…,xr+1) が対応する.
 さらに,

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, [2] の解は r 個のものから n 個のものを取り出す重複組み合わせと対応する.

{yahoojp} {shinko-keirin.co.jp}
{yahoojp}jpprem01-zenjp40-wl-zd-35191